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MATEMATICAS

GEOMETRIA







PENSAMIENTO CRITICO 

AÑO JUBILAR DE MARIA DEL REUFUGIO 

PENSAMIENTO CRITICO

Problema 1 
Seis  amigos  se  ubican  simétricamente  alrededor de una mesa circular para almorzar. Si se sabe que
 -  Alex no está al lado de Joel ni de Daniel.
 -  Aldo no está al lado de Alex ni de Oliver.
 -  Daniel no está al lado de Joel ni de Oliver.
 -  Nilo está junto y a la derecha de Alex.
¿Quién está junto y a la izquierda de Daniel?
A) Alex          B) Nilo             C) Aldo           D) Joel          E) Oliver


Problema 2
En el teatro, cuatro amigos ocupan cuatro asientos consecutivos en una misma fila. Se observa lo siguiente:
I.  Leopoldo no está sentado junto a Irma.
II.  Perico no está sentado junto a Nicole.
III.  Nicole no está sentado junto a Leopoldo.
Entonces ¿quiénes no están sentados en los extremos?
A) Leopoldo y Nicole              B) Leopoldo y Perico
C) Irma y Leopoldo                 D) Perico e Irma
E) Perico y Nicole



Problema 3
Álvaro, Benito, César y Darío poseen, cada uno, un celular del mismo tamaño y forma, pero de diferentes  colores: negro, verde, azul y rojo. Al apagarse las luces, cada uno cogió un celular que no era el suyo.
Después de esto, se determinó que:
-  Darío se quedó con el celular azul porque su celular lo tomó César.
-  Álvaro dice: “Si me prestan el celular azul, devuelvo su celular verde a César”.
-  Benito se quedó con el celular rojo porque su verdadero dueño no devolvió el celular verde a su propietario.
¿Quiénes son los dueños de los celulares negro y rojo respectivamente?
A) Darío y Benito            B) César y Álvaro           C) Benito y Álvaro
D) Darío y César             E) Darío y Álvaro



SOLUCIONES: 
Problema 1: https://www.youtube.com/watch?v=74HEiisODlU

Problema 2: https://www.youtube.com/watch?v=TmYl5MfwfHg

Problema 3: https://www.youtube.com/watch?v=fMj9eY4yFAY

Nota: Videos tomados de la pagina de Alex Zeballos 

PENSAMIENTO CRITICO

Pregunta 1

Un comerciante compró un artículo por 7 euros, lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10.

¿Cuánto beneficio sacó?

Respuesta: 
 a) 4 Euros    b)  2 Euros  c) 6 Euros d) 8 Euros

Pregunta 2

Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio,

¿Cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días?

Respuesta: 
a)  24 Cervezas b) 25 Cervezas  c) 20 Cervezas d) 18 Cervezas

Pregunta 3

La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7.000 toneladas.

Si construyéramos un modelo perfectamente a escala, con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura...

¿Cuántas toneladas pesaría?

Respuesta: 
a) 320 Toneladas  b) 450 Toneladas c)  875 Toneladas  d) 200 Toneladas

Pregunta 4

Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas.

¿Cuánto tiempo empleará una sola ameba en llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad?

Respuesta: 
a)  2h y 1’  b) 3h  c) 2h y 3s  d) 4h y 1s

Pregunta 5

¿Qué altura tiene un árbol, que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol?

Respuesta:  
a) 2 Metros b) 4 Metros c) 10 Metros d) 1 Metro

Pregunta 6

Todos son perros menos dos, todos son gatos menos dos, todos son loros menos dos.

¿Cuántos animales tengo?

Respuesta:  
a) 2 animales b) 4 animales c) 1 animal d) 3 Animales

Pregunta 7

Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 km. por minuto y la otra a 12 km/minuto. En este justo momento están exactamente a 5.000 km. de distancia.

¿A qué distancia estará una de otra un minuto antes de estrellarse?

Respuesta:  
a) 20 Km  b) 80  c) 40  d) 60

Pregunta 8

Un viajante recorrió en coche 5000 Km., permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste.

Al terminar el viaje, ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda?

Respuesta: 
a) 1000 km b) 2000 km   c) 4000 Km d) 10000 km

Pregunta 9

De 138 soldados vueltos del frente de guerra, casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos.

¿Cuántos ojos quedaron?

Respuesta: 
a)  138 Ojos  b) 120 Ojos c) 300 Ojos d) 140 Ojos

Pregunta 10

Un ladrillo se equilibra, en una balanza de dos platillos, con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo.

¿Cuánto pesa el ladrillo?

Respuesta:   
a) 1 kilos b) 3 Kilos  c) 4 kilos d) 2 kilos 

GEOMETRÍA: MEDIATRIZ

MEDIATRIZ 

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al él.

DIBUJO DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

1. Trazamos el segmento AB 

2.Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento AB3.Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera.4.La recta que pasa por la intersección de las circunferencias es la mediatriz del segmento AB.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

La intersección de la mediatriz con la segmento AB es el punto medio M.

MEDIATRICES DE UN TRIANGULO:

Las mediatrices de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

CIRCUCENTRO:

El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Ejercicios

Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2 , 5) y B(4, -7)

GEOMETRÍA: TEOREMA DE TALES

teorema de tales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

Ejemplos

1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

 

2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

 

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Teorema de thales en un triangulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

     

Ejemplo:

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

 

Aplicaciones del teorema de Thales

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo:

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

GEOMETRIA: BISECTRIZ

Bisectriz

La bisectriz es la recta que divide en dos parte iguales a un ángulo; se trata del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, se encuentran a la misma distancia de las semirrectas de un ángulo. Vale destacar que se llama lugar geométrico al conjunto de puntos que satisfacen unas determinadas propiedades geométricas y semirrecta a cada una de las dos partes en las que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos, o sea, es la parte de la recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado del punto fijo de la recta; la misma tiene un primer punto u origen y como el resto de las rectas se extiende hacia el infinito.

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.

Trazar la bisectriz

1 Se traza un arco correspondiente al ángulo

2 Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto.

3 La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.

Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo

1 Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.

2 Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.

3 La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices de un triángulo. 

    El incentro es el centro de una circunferencia       inscrita en el triángulo.

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GEOMETRÍA: MEDIDAS DE UN TRIANGULO

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

      BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

Es el punto de corte de las tres mediatrices.

  Es el centro de una         circunferencia circunscrita   al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices.

Es el centro de una     circunferencia inscrita   en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.